随机过程通过系统分析

一、平稳随机过程通过线性系统
　　设线性系统的冲激响应为，输入随机过程为，则输出随机过程等于与的卷积，即　　1.输出随机过程的数学期望
　　假设输入平稳随机过程，其均值为，经线性系统传输后，输出随机过程的数学期望为　　输出随机过程的数学期望等于输入随机过程的数学期望乘以。
　　物理意义：平稳随机过程通过线性系统后，输出的直流分量等于输入的直流分量乘以系统的直流传递函数。
　　2.输出随机过程的自相关函数
　　输出随机过程的自相关函数为　　更换上式中数学期望各积分的次序，可改写为　　因为是平稳的，则有　　于是　　可见，输出随机过程的自相关函数只依赖与时间间隔而与时间起点无关。
　　结论：当输入随机过程是广义平稳时，输出随机过程也是广义平稳的。
　　3.输出随机过程的功率谱密度
　　设输入平稳随机过程的功率谱密度为。　　令，则有，代入上式得　　由于　　得　　线性系统输出的平稳随机过程的功率谱密度是输入随机过程功率谱密度与线性系统传递函数模平方的乘积。
二、随机过程通过乘法器
　　在通信系统中广泛使用的线性调制器和相干解调器，其主要部件是乘法器。下面我们要分析平稳随机过程经过乘法器后，输出过程如何？
　　乘法器可以看成是一个六端口网络，平稳随机过程通过乘法器的数学模型如图3.7.2所示。

三、乘法器模型

　　乘法器的输出为　　从广义平稳判定条件可知，若要判是否平稳, 要看其数学期望（均值）是否为常数，自相关函数是否与无关而只和时间间隔有关。
　　1. 输出随机过程的数学期望常数　　所以不再是广义平稳随机过程。
　　2. 输出随机过程的自相关函数　　但是却是时间的函数，因此说明经过乘法器后的随机过程不再是广义平稳随机过程。但输出随机过程的数学期望和自相关函数是时间的周期函数，则为循环平稳随机过程。
　　3．输出随机过程的平均功率谱密度
　　非广义平稳随机过程的功率谱密度的定义为　　将它代入上式后得　　因为　　应用调制定理就可以得到通过乘法器后输出随机过程的功率谱密度。即　　其功率谱密度如图3.7.3所示。图3.7.3 乘法器输入输出的功率谱密度

　　结论：低频平稳随机过程通过乘法器，其输出过程的功率谱密度是输入随机过程功率谱密度在频率轴上搬移到和处，且幅度减小为原来的1/4。