任意广义对象的最少拍控制器设计

　　对于任意广义对象，上述设计方法要作相应的修改，这时的设计目标应包括三个方面，即稳定性、准确性和快速性。
　　当G(z)含有单位圆上或圆外零极点时，为保证D(z)与G(z)不会发生零极点对消，在选择Φ(z)时，必须附加一个稳定性约束条件。
　　设广义脉冲传递函数G(z)为

　　其中，b₁，b₂，…，b_u是G(z)的u个不稳定零点，a₁，a₂，…，a_v是G(z)的v个不稳定极，G‘(z)是G(z)中不包含单位圆上或单位圆外的零极点部分。当对象不包含延迟环节时，m=1；当对象包含延迟环节时，m>1。
　　为避免发生D(z)与G(z)的不稳定零极点对消，Φ(z)应满足如下稳定性条件。
　　(1)因，所以Φe(z)的零点应包含G(z)在z平面单位圆上或单位圆外的所有极点，即
　　　　　(1)
　　其中，F1(z^-1)是关于z^-1的多项式且不包含G(z)中的不稳定极点a_i。
　　(2)因，所以Φ(z)应保留G(z)所有不稳定零点。即
　　　　　(2)
　　其中，F2(z^-1)为关于z^-1的多项式且不包含G(z)中的不稳定零点bi。
　　因此，满足了上述稳定性条件后

　　即D(z)不再包含G(z)的z平面单位圆上或单位圆外零极点。
　　考虑到准确性、快速性，应选择
　　　　　　(3)
　　其中，对应于阶跃、等速、等加速输入，p应分别取为1，2，3。
　　综合考虑闭环系统的稳定性、快速性、准确性，Φ(z)必须选为
　　　　　　(4)
　　其中，m为广义对象G(z)的瞬变滞后，该滞后只能予以保留；bi为G(z)在z平面的不稳定零点；u为G(z)不稳定零点数；v为G(z)不稳定的极点数(z=1极点除外)；q分别取1，2，3；c_i为q+v个待定系数，c_i(I=0,1,2,…,q+v)应满足下式：
　　　(5)
　　具体地，有：
　　　　　　　　　(6)
　　前q个方程实际上就是准确性条件，后v个方程是由a_j(j=1,2,…，v)是G(z)的极点得到的。
　　〖例1〗 在图1所示的系统中，被控对象，已知K=10s^-1，T=T_m=0.025s，则按前面所述最少拍设计方法，针对单位速度输入信号设计最少拍控制系统，并讨论输入形式改变时系统性能的变化情况。

　　　　　　　　　　　图1 最少拍有纹波系统框图
　　解：
　　可以看出，G(z)的零点为-0.718(单位圆内)、极点为1(单位圆上)、0.368(单位圆内)，故u=0,v=0(z＝1除外),m=1。根据稳定性要求，G(z)中z=1的极点应包含在Φ_e(z)的零点中，由于系统针对等速输入进行设计，故p=2。为满足准确性条件另有Φ_e(z)=(1-z^-1)²F₁(z^-1),显然准确性条件中已满足了稳定性要求，于是可设

　　解得。
　　闭环脉冲传递函数为

　　则
　　计算出各点信号：

　　因Y(z)=R(z)Φ(z)=U(z)G(z)，所以

　　各点信号波形如图2所示。

　　　　　　　　　　　图2 有纹波最少拍系统各点波形图

　　保持按照这种输入设计的D(z)不变，改变输入形式时情况如下。
(1) 输入为单位阶跃信号
此时
　　因输入为1(t)，由偏差可知输出：

　　另外，也可以直接计算

　　即y(0)=0，y(T)=2, y(2T)=y(3T)=…=1
　　因此，按单位速度输入设计的最少拍系统，当输入变为单位阶跃输入时，需经过2个采样周期，输出才可以跟踪上输入。且t=T时，超调最大，达到100%。而如按单位阶跃输入，t_s=T，采样点处无超调。
　　(2)输入为单位加速度信号

　　即e(0)=0,e(T)=T²/2，e(2T)=e(3T)=…=T²。
　　可以看出，当输入形式为单位加速度时，系统经过2拍达到稳定，即t_s=2T，但系统始终存在误差T²，输出可以跟踪输入，但只能做到恒差跟踪。
　　综上可以看出，按照某种典型输入设计的最少拍系统，当输入形式改变时，系统的性能变坏，输出响应不一定理想。